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* El número total de escalas posibles es de 1.785, entre las pentáfonas y la dodecáfona, excluidas las 31 escalas excéntricas,
por su inoperancia al estar constituidas por 26 escalas (20 pentáfonas y 6
hexáfonas) con un intervalo de 7 semitonos, y 5 escalas pentáfonas con un
intervalo de 8 semitonos. La argumentación completa figura en Lêpsis, vol. II,
pág. 38-39. ----------------------------------------------------------
A la memòria del Mestre
Patricio Galindo (1909-1975)
al 45è Aniversari de la seva
mort
doncs el seu exemple va
predisposar
el meu interès i estima per la
investigació
LAS TRANSPOSICIONES
LIMITADAS EN LA TEORÍA ESCALÍSTICA
En este trabajo abordaré el
estudio del Profesor Olivier Messiaen, al que considero justa e
indiscutiblemente el pionero de los teóricos en materia de modos sintéticos, y
que con su Técnica de mi lenguaje musical se adentró en el estimulante
campo de las escalas restringidas, pero aquí visto desde las conclusiones
obtenidas y posteriormente publicadas en mi tratado Lêpsis vol. I, en
donde dedico un apartado que contempla de forma exhaustiva lo que fue toda mi
investigación completa acerca del estudio y clasificación de los modos de
transposiciones limitadas, esa singularidad en el espectro escalístico (que
contiene, a su vez, sorprendentes singularidades), generadores de toda una
serie de escalas de propiedades excepcionales, lo que me ha permitido posteriormente
confrontar las clasificaciones expuestas en ambos tratados, evidenciando las
concordancias existentes y las divergencias que me propongo dilucidar en base a
las constataciones objetivas alcanzadas, con la correspondiente validación de
cada uno de los principios en los que se sustentan, confirmados por las
verificaciones empíricas resultantes, priorizando siempre, y por razones
obvias, los textos en los que se formulaban fundamentos teóricos, por encima de
los ejemplos de aplicación, por tratarse éstos de invaluables consecuencias ulteriores
a las tesis formuladas.
La materia contenida en este capítulo1, fue concebida exenta respecto al Tratado Lêpsis. Elaborada en
principio como ensayo independiente, las referencias a él se incluyen como
información adicional, aunque es innecesaria su consulta para la correcta
comprensión del texto principal, pues contiene la información necesaria para
que pueda ser abordada directamente como opúsculo autónomo.
LAS TRANSPOSICIONES
LIMITADAS
EN LA TEORÍA ESCALÍSTICA
El profesor Olivier Messiaen,
en el capítulo dedicado a los Modos de transposiciones limitadas (Cap.
XVI) de su tratado Técnica de mi lenguaje musical2 (aquí simplificado como TL),
ofrece su visión acerca de los modos que clasifica como capaces de constituir
escalas de transposiciones restringidas, y que en este trabajo someteré a
estudio tras los resultados obtenidos en mis investigaciones al respecto,
publicadas en Lêpsis [LÊ, pág. 408-415 (siempre referidas al vol.
I, excepto cuando se indique lo contrario)], en donde se recogen mis conclusiones
acerca del estudio y clasificación de la totalidad de los modos sintéticos, y
de sus correspondientes escalas a las que dan lugar, en el ámbito que comprende
desde las pentáfonas a la dodecáfona (en ambos tratados se coincide en excluir
las escalas inferiores de 4, 3, 2 y 1 intervalos, por razones distintas).
Comprobaremos las muchas concomitancias existentes entre los dos estudios, pero
también las discrepancias que nos permiten llegar a conclusiones disímiles
especialmente debidas a los distintos niveles de delimitación con que han sido
considerados en ambos tratados. Para ello haremos referencia a los modos
sintéticos clasificados (de entre los 145 modos existentes) por Messiaen, como
M I, M II, ... , y por mí, como D I, D II, ...
Tras definir los modos de
transposiciones limitadas (TL, pág. 87), afirma “Estos modos son tres,
más otros cuatro que son seis veces transportables3 ...”, y aquí pretendemos
mostrar, entre otras cosas, que, parafraseando dicha afirmación, se
trata en realidad de que “estos modos son cuatro, más otros cinco
que son seis veces transportables3 ...”, y la subsiguiente ampliación en el número de escalas que generan
(hasta 30 de transposiciones limitadas).
ESTUDIO COMPARADO
Para clarificar concordancias y divergencias contenidas en las dos
afirmaciones, realizaremos una confrontación entre ambas clasificaciones:
a) Se presenta en TL (pág.
87-88) y en LÊ (pág. 410), el primer modo con intervalos de un tono [M
I - D I: secuencia 2; 1 escala], y el segundo, con
secuencia de intervalos de semitono y tono [M II - D II:
secuencia 1-2; 2 escalas], en coincidencia en ambos tratados
(1ª, 2ª y 3ª escalas, pág. 27).
b) Antes de presentar el tercer
modo, hagamos un pequeño inciso para advertir que en una lógica deductiva,
antes de entrar en secuencias de tres intervalos podríamos seguir explorando
las posibilidades obviadas y, efectiva- mente, observamos cómo la secuencia de
semitono-semiditono (1-3), nos da paso a un nuevo modo igualmente de
transposiciones limitadas, no clasificado en TL y contemplado en LÊ (pág.
410) como [D III: secuencia 1- 3; 2 escalas (4ª
y 5ª escalas, pág. 27)]. Y ya no podemos seguir con secuencias de dos
intervalos, pues las 1-4, 2-3, etc. no pueden estar contenidas un número exacto
de veces dentro de la octava.
c) Aparece el tercer modo en TL
(pág. 90) y LÊ (pág. 410) [M III - D IV: secuencia
2-1-1; 3 escalas], coincidente en ambos tratados,
aunque con distinto orden para la clasificación general, lo que no será
esencialmente significativo (6ª, 7ª y 8ª esc., pág. 27, etc ... siguiendo en
las pág. 28 y 29).
d) Y tras ellos, se enuncian en
TL y en LÊ los restantes modos. Así, el siguiente modo [M
IV - D VIII: secuencia 1-1-3-1; 4
escalas], es coincidente, de- teniéndonos en este punto para contemplar el
concepto aportado por el Profesor Messiaen con la denominación de “modo truncado”,
y que es la razón por la que no ha contado con la posibilidad de un modo
constituido por la secuencia 3-2-1, al considerarla truncada del M II
[(2-1)-2-1], a pesar de que ésta nos proporciona “un nuevo modo sintético de
transposiciones limitadas”, totalmente independiente de los restantes y con las
mismas propiedades y prestaciones que ellos [D V: secuencia 1-2-3;
6 escalas]. También excluye el modo de secuencia 1-5, por los mismos motivos
de considerarlo como modo truncado, excluido también en LÊ, pero aquí
por dar lugar a una escala tetráfona, no contemplada, junto a las escalas de 3,
2 y 1 intervalos, por su exigua, incluso nula, operatividad (LÊ, pág.
396, notas no 1 y 2). Mantenido en TL el criterio de modo truncado,
aplicado a la secuencia 3-2-1, debiera hacerse extensiva, consecuentemente,
excluyendo a otros modos de la clasificación general que se encuentren en
semejantes circunstancias; sin embargo a continuación (TL pág. 93) presenta
el siguiente modo [M V - D VI: secuencia 1-4-1;
3 escalas], reconociendo, que su modo V ... es un modo IV truncado, [1-(1-3)-1],
solo se legitima aquí su presencia porque engendra la fórmula melódica:
(le sigue como ejemplo, un compás con la línea melódica:) sol, reb, si, do,
fa#, si, fa, sol, fa#, do. Aquí presentamos nuestra mayor y más rotunda
objeción, pues cualquier teorización debe ser en todo momento independiente de
su aplicación posterior, ya que la reflexión teórica debe ser siempre necesariamente
objetiva e igualmente evaluable para cualquier observador, independientemente
de su posición estética y de su canon estilístico, mientras que su aplicación,
por contra, estará en todo momento sometida a estos condicionamientos con
resultados únicamente evaluables desde una óptica estrictamente subjetiva. Es
por ello que la condición esgrimida de “modo truncado” no queda justificada en
ningún momento como causa irrefutable para su posterior exclusión, ni siquiera
es mantenida consecuentemente para su aplicación a los distintos casos que
posteriormente se ven afectados, al quedar amparada por un confortable lecho
de Procusto (pág. 88, nota 17), en el que se reajusta lo necesario para que
encajen en él.
e) Siguen los dos tratados con
absoluta coincidencia en los restantes modos: [M VI - D VII:
secuencia 2-2-1-1; 4 escalas], [M VII -
D IX: secuencia 1- 1-1-2-1; 5 escalas].
Creo interesante enfatizar que el Profesor Messiaen reconoció la existencia
de dos aspectos perfectamente diferenciados que caracterizan la modulación a
los que denominó (TL, Cap. XVII, pág. 98-99) “modulación de un modo a
sí mismo”, haciendo referencia al paso entre dos escalas distintas que
pertenecen al mismo modo y, por tanto, sin que se opere ningún cambio en él, y “modulación
de un modo a otro modo”, cuando la evolución tiene lugar entre diferentes
escalas provenientes de modos distintos y con la consiguiente diversificación
de las valoraciones interválicas. En LÊ, se estudian las tres vertientes
posibles: transpolación (ejem: LaM-ReM), extrapolación [ejem: LaM-Re
dórico (mismo modo)] y modulación (ejem: LaM-Rem)5.
LOS MODOS
SINTÉTICOS:
UNA SINGULARIDAD EN EL ESPECTRO ESCALÍSTICO
Para demostrar cuál es la
naturaleza de los modos sintéticos y sus es- calas generadas de transposiciones
limitadas, detallamos los principios en los que se fundamentan; principios que
fueron el resultado del estudio completo previo, y como consecuencia de las
constataciones alcanzadas. Las definimos (LÊ, pág. 408) diciendo que: Escalas
sintéticas son aquellas generadas por yuxtaposición/es de un mismo patrón de
secuencia interválica, contenida un número entero de veces (nv) en la octava. Las
disposiciones posibles (dp) en las
que puede ser presentada una escala, será inversamente proporcional al número de
veces que aparezca la secuencia que la constituye, y siempre igual o inferior a
seis; el número de transposiciones6 posibles (tp) desde cualquiera de ellas será obviamente una
menos que el de disposiciones y, por tan- to, igual o inferior a cinco. Sobrepasado
este límite volverían a repetirse idénticas escalas, solo que partiendo de un
grado distinto, por lo que al carecer de identidad propia únicamente podrán ser
consideradas como simples escalas transferidas. El número de escalas
implicadas (ei), será:
 PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LAS ESCALAS SINTÉTICAS
Tres principios axiomáticos
rigen para la totalidad de las escalas sintéticas existentes en nuestro sistema
musical temperado, contempladas entre las pentáfonas y la dodecáfona (LÊ,
pág. 409):
- Primer Principio: Dentro
de la octava, solo se pueden construir 31 escalas sintéticas: 24 asimétricas y
7 simétricas, distribuidas en 10 modos distintos.
- Segundo Principio: El
número de disposiciones posibles de la escala, será siempre igual al número de
semitonos que constituye la secuencia generadora. Así, por ejemplo, la
escala 12121212, constituida por un patrón secuencial [1-2] de tres
semitonos, que aparece cuatro veces ([1-2] 4)7, permite 3 disposiciones; la escala 131313, constituida por una
triple secuencia ([1- 3] 3) de cuatro semitonos, permite 4 disposiciones;
la escala 123123, constituida por una doble secuencia ([1- 2-3] 2)8 de seis semitonos,
permite 6 disposiciones, etc.
- Tercer Principio: No puede
haber escalas sintéticas entre aquellas constituidas por un número de notas que
sea primo y, por tanto, indivisible en secuencias iguales.
LOS NUEVE
MODOS
DE TRANSPOSICIONES LIMITADAS
Solo 30 escalas sintéticas, de
las 31, gozan de la posibilidad de ofrecer transposiciones, ya que la
dodecáfona, aunque es sintética por el hecho de estar constituida por la
síntesis de ([1] 12) -de forma semejante a la hexáfona de tonos enteros
(222222), que es la síntesis de ([2] 6)-, posee un solo patrón de secuencia y
una única disposición, no permitiendo ninguna transposición de la
misma, por lo que no se constituye en modo de transposición limitada9 (LÊ, pág. 409-411).
Por lo que contamos con 30
escalas sintéticas, 24 asimétricas y 6 simétricas, en 9 modos de
transposiciones limitadas. Por su número de transposiciones, se
clasifican en:
- Modo D I: 1
patrón secuencial. Secuencia generadora ([2] 6). TL: M I10 - Modo D II:
2 patrones secuenciales. Secuencia genera- dora ([1-2] 4). TL: M
II
- Modo D III:
2 patrones secuenciales. Secuencia genera- dora ([1-3] 3). TL:
---
- Modo D IV:
3 patrones secuenciales. Secuencia generadora ([1-1-2] 3). TL: M
III11
- Modo D V: 6
patrones secuenciales. Secuencia generadora ([1-2-3] 2). TL: ---
- Modo D VI: 3 patrones secuenciales. Secuencia generadora ([1-1-4]
2). TL: M V12
- Modo D VII:
4 patrones secuenciales. Secuencia generadora ([1-1-2-2] 2). TL:
M VI13
- Modo D VIII:
4 patrones secuenciales. Secuencia generadora ([1-1-1-3] 2). TL:
M IV14
- Modo D IX:
5 patrones secuenciales. Secuencia generadora ([1-1-1-1-2] 2). TL:
M VII15
LAS TREINTA ESCALAS SINTÉTICAS DE
TRANSPOSICIONES LIMITADAS
Están contenidas en los nueve
modos de transposiciones limitadas. El orden de los modos ha quedado
establecido, igualmente, priorizando el número de transposiciones posibles, de
menor a mayor, y el de sus escalas, siguiendo el orden natural11 (LÊ, pág. 411- 415):
a) Con 2 disposiciones; 1 sola transposición posible
desde cada escala.
- Modo D I:
1ª Escala: 222222; ([2] 6).
b) Con 3 disposiciones; 2 transposiciones posibles desde cada
escala.
- Modo D II:
2ª Escala: 12121212; ([1-2] 4).
3ª Escala: 21212121; ([2-1] 4).
c) Con 4 disposiciones; 3 transposiciones posibles desde cada
escala.
- Modo D III:
4ª Escala: 131313; ([1-3] 3).
5ª Escala: 313131; ([3-1] 3).
- Modo D IV:
6ª Escala: 112112112; ([1-1-2] 3).
7ª Escala: 121121121; ([1-2-1] 3).
8ª Escala: 211211211; ([2-1-1] 3).
d) Con 6 disposiciones; 5 transposiciones posibles desde
cada escala.
- Modo D V:
9ª Escala: 123123; ([1-2-3] 2).
10ª Escala: 132132; ([1-3-2] 2).
11ª Escala: 213213; ([2-1-3] 2).
12ª Escala: 231231; ([2-3-1] 2).
13ª Escala: 312312; ([3-1-2] 2).
14ª Escala: 321321; ([3-2-1] 2).
- Modo D VI:
15ª Escala: 114114; ([1-1-4] 2).
16ª Escala: 141141; ([1-4-1] 2).
17ª Escala: 411411; ([4-1-1] 2).
- Modo D VII:
18ª Escala: 11221122; ([1-1-2-2] 2).
19ª Escala: 12211221; ([1-2-2-1] 2).
20ª Escala: 21122112; ([2-1-1-2] 2)16.
21ª Escala: 22112211; ([2-2-1-1] 2).
- Modo D VIII:
22ª Escala: 11131113; ([1-1-1-3] 2).
23ª Escala: 11311131; ([1-1-3-1] 2).
24ª Escala: 13111311; ([1-3-1-1] 2).
25ª Escala: 31113111; ([3-1-1-1] 2).
- Modo D IX:
26ª Escala: 1111211112; ([1-1-1-1-2] 2).
27ª Escala: 1112111121; ([1-1-1-2-1] 2).
28ª Escala: 1121111211; ([1-1-2-1-1] 2).
29ª Escala: 1211112111; ([1-2-1-1-1] 2).
30ª Escala: 2111121111; ([2-1-1-1-1] 2).
ESCALAS
SINTÉTICAS PUENTE
Entre las treinta clasificadas, existen cinco escalas sintéticas de
transposiciones limitadas, contenidas en tres modos, capaces de
servir de conexión hacia otras veintinueve escalas no sintéticas con las
que presentan el mismo modo. Son las Escalas sintéticas puente,
precisamente las que aparecen en los tres primeros modos de
transposiciones limitadas, ocupando las cinco primeras posiciones, distribuidas
como tres hexáfonas: 222222, 131313 y 313131, y, entre ellas, dos octófonas:
12121212 y 21212121 (LÊ, pág. 414- 415).
- La relación entre hexáfonas y pentáfonas la establece la escala sintética hexáfona
222222 con su enlace con cualquiera de las cinco escalas pentáfonas: 22224,
22242, 22422, 24222, 42222.
- Las dos escalas sintéticas 131313 y 313131, con las diez pentáfonas: 13134, 13143,
13413, 14313, 31314, 31341, 31431, 34131, 41313, 43131.
- Las dos escalas sintéticas octófonas 12121212 y 21212121, con las catorce heptáfonas:
1212123, 1212132, 1212312, 1213212, 1231212, 1321212, 212 1213, 2121231,
2121321, 2123121, 2132121, 2312121, 3121212, 3212121.
Aplicando
el proceso de cuantificación interválica, al estudiar el conjunto de
intervalos resultantes que son generados desde cada una de las estructuras (LÊ
II, pág. 33-36), comprobamos su convergencia:
1º) Intervalos resultantes a los que puede dar lugar la octófona
[:12121212:]
- De 2m (intervalos existentes de 1 semitono) y 7M (intervalos
existentes de 11 semitonos):
2m: [12121212], [12121212], [12121212], [12121212]}
4
7M: [12121212]17, [12121212:],
[12121212:], [12121212:]} 4
- De 2M (intervalos de 2 semitonos) y 7m (intervalos de 10 semitonos):
2M: [12121212], [12121212], [12121212], [12121212]}
4
7m: [12121212], [12121212:], [12121212:], [12121212:]}
4
- De 3m (intervalos de 3
semitonos) y 6M (intervalos de 9 semitonos):
3m: [12121212], [12121212],
[12121212], [12121212], [12121212], [12121212],
[12121212], [12121212:]} 8
6M: [12121212], [12121212], [12121212], [12121212:],
[12121212:], [12121212:], [12121212:], [12121212:]}8
- De 3M (intervalos de 4 semitonos) y 6m (intervalos de 8 semitonos):
3M: [12121212], [12121212], [12121212], [12121212:]}
4
6m: [12121212], [12121212], [12121212:], [12121212:]}
4
- De 4j (intervalos de 5 semitonos) y 5j (intervalos de 7 semitonos):
4j: [12121212], [12121212], [12121212], [12121212:]}
4 5j: [12121212], [12121212], [12121212:], [12121212:]}
4
- De 4+/5- (tritono, intervalos de 6 semitonos):
4+/5-: [12121212], [12121212], [12121212], [1212121
2], [12121212], [12121212:], [12121212:], [1212121 2:]}
8
Es decir, de 2m y 7M: 8; de 2M
y 7m: 8; de 3m y 6M: 16; de 3M y 6m: 8; de 4j y 5j: 8; de tritono: 8. Simplificando,
para evitar así la duplicidad que supone la cuantificación de un intervalo y el
de su complementario, la proporción 8/8/16/8/8/8 en la que participan todos los
intervalos posibles, desde 2m hasta 4+/5-, queda: 4/4/8/4/4/4,
que constituirá el modelo de cuantificación interválica de la escala18.
2º) Intervalos resultantes a los que puede dar lugar la heptáfona
[:1231212:]
- De 2m/7M: [1231212], [1231212], [1231212]} 3
- De 2M/7m: [1231212], [1231212], [1231212]} 3
- De 3m/6M: [1231212], [1231212], [1231212],
[123121 2], [1231212], [1231212:]} 6
- De 3M/6m: [1231212], [1231212], [1231212:]} 3
- De 4j/5j: [1231212], [1231212], [1231212:]} 3
- De 4+/5-: [1231212], [1231212], [1231212], [1231212],
[1231212:], [1231212:]} 6
La proporción en la que participan todos los intervalos posibles, desde
2m hasta 4+ -teniendo en cuenta que hemos ponderado solo los intervalos simples
(no sus complementarios) y, como hemos advertido, el tritono seguirá siendo
considerado en la mitad de su valoración-19, configurará su modelo de cuantificación que vendrá expresado por 3/3/6/3/3/3,
lo que nos permite constatar ya en un primer momento la proporcionalidad en la
intervención de los distintos intervalos en ambas escalas, octófona [12121212]
y heptáfona [123 1212]. Para acreditar esta circunstancia, recurrimos a operar
con el factor de proporcionalidad (LÊ II, pág. 30-31, y notas),
que es el que permite enfrentar y comparar modos con distinto número de
intervalos, teniendo en cuenta que para las pentáfonas es fp = 10;
hexáfonas: 6,666; heptáfonas: 4,761; octófonas: 3,571; eneáfonas: 2,777;
decáfonas: 2,222; endecáfonas: 1,818; dodecáfona: 1,515; y con ello podremos
conocer la proporción en la que intervendrá cada intervalo constitutivo cuando
se utilice en la praxis compositiva una escala en concreto, al ser el producto
del modelo de cuantificación interválica por el factor de proporcionalidad; así
la octófona: 4/4/8/4/4/4 x 3,571 = 14,3% 2m-7M / 14,3% 2M-7m / 28,6% 3m-6M /
14,3% 3M-6m / 14,3% 4j-5j / 14,3% 4+; por otro lado, la heptáfona: 3/3/6/3/3/3
x 4,761 = 14,3% 2m-7M / 14,3% 2M-7m / 28,6% 3m-6M / 14,3% 3M-6m / 14,3% 4j-5j /
14,3% 4+, o como representamos a los indicadores interválicos del modo en las
Tablas en LÊ (Tabla Distributiva, pág. 507, fila 7ª derecha), de forma
abreviada: 14,3/ 14,3/28,6/14,3/14,3/14,3. Lo que nos demuestra que ambas
estructuras, 12121212 y 1231212, son coincidentes en un mismo modo, el
clasificado en LÊ como modo no 76.
Igualmente podríamos proceder
con las restantes escalas puente y comprobaríamos su conexión por el hecho de
compartir el mismo modo. Como último ejemplo, que pueda colaborar a la
consecución de una exposición suficientemente documentada para su mejor
comprensión, aplicaremos el proceso de cuantificación interválica a la hexáfona
313131 con una de las pentáfonas con las que está relacionada: la 13143.
1º) Intervalos resultantes a los que puede dar lugar la hexáfona
[:313131:]
- De 2m/7M: [313131], [313131], [313131]} 3 - De
2M/7m: [313131]} 0
- De 3m/6M: [313131], [313131], [313131]} 3
- De 3M/6m: [313131], [313131], [313131], [313131],
[313131], [31313 1:]} 6
- De 4j/5j: [313131], [313131], [313131:]} 3 - De
4+/5-: [313131]} 0
Es decir, de 2m y 7M: 3; de 2M
y 7m: 0; de 3m y 6M: 3; de 3M y 6m: 6; de 4j y 5j: 3; de tritono: 0. Por lo que
la participación de todos los intervalos posibles, desde 2m hasta 4+/5-, queda:
3/0/3/6/3/0, que constituirá el
modelo de cuantificación interválica de esta escala hexáfona sintética puente.
2º) Intervalos resultantes a los que puede dar lugar la pentáfona [:13143:]
- De 2m/7M: [13143], [13143]} 2
- De 2M/7m: [13143]} 0
- De 3m/6M: [13143], [13143]} 2
- De 3M/6m: [13143], [13143], [13143], [13143:]
} 4 - De 4j/5j: [13143], [13143]} 2
- De 4+/5-: [13143]} 0
Quedando evidenciada la proporcionalidad en la intervención de los
distintos intervalos en ambas escalas, hexáfona [313131] y pentáfona [13143],
por la coincidencia en su modelo de cuantificación 2/0/2/4/2/0.
Recurriendo al factor de proporcionalidad que, como hemos dicho, para
las pentáfonas es fp = 10, y para las hexáfonas fp = 6,666. Así
la hexáfona: 3/0/3/6/3/0 x 6,666 = 20% 2m-7M / 0% 2M-7m / 20% 3m-6M / 40% 3M-6m
/ 20% 4j- 5j / 0% 4+. Por otro lado, la pentáfona: 2/0/2/4/2/0 x 10 = 20% 2m-7M
/ 0% 2M-7m / 20% 3m-6M / 40% 3M-6m / 20% 4j-5j / 0% 4+, o como representamos a
los indicadores interválicos del modo en las Tablas en LÊ (Tabla Distributiva,
pág. 508, fila 18ª derecha), de forma abreviada: 20/00/20/40/20/00. Lo que nos
permite comprobar que ambas estructuras, 313131 y 13143, son coincidentes en un
mismo modo, el clasificado en LÊ como modo nº14 (pueden consultarse
otros procesos semejantes en cap. II20).
Concluimos este estudio reafirmándonos en la aseveración con la que lo
iniciábamos, y que era lo que pretendíamos demostrar en relación con los modos
sintéticos, y es que “estos modos son cuatro, más otros cinco que
son seis veces transportables”3, totalizando nueve modos, de entre los 145 modos
existentes, y la subsiguiente ampliación en el número de escalas por ellos
generadas que nos permite afirmar que, de entre las 1.785 escalas posibles en
el sistema occidental temperado, comprendidas entre las pentáfonas y la dodecáfona,
existen en total 30 escalas sintéticas con transposiciones limitadas.
NOTAS:
1. Registros en Propiedad Intelectual:
- 09/2006/2727
- 09/2018/547
2. Olivier Messiaen. “Técnica
de mi lenguaje musical”, Ediciones Musicales Alphonse Leduc et Cie.
Traducción: Daniel Bravo López.
3. “Seis veces transportables...”:
se trata más bien de seis disposiciones posibles, cinco
veces transportables desde cada una de ellas (consultar nota nº 6).
4. Al igual que las bondades de
las escalas mayor y menor no podríamos haberlas inferido tras la audición de
una determinada fórmula melódica concreta, ya que, como la historia ha
demostrado, han servido por igual tanto para la creación de las más excelsas
melodías, como para el soporte de las tonadillas más deplorables.
5. LÊ I, pág. 140, 147 y
149; y LÊ II, pág. 47, 50 y 53, respectivamente.
6. Llamamos disposición,
a cada una de las distintas alturas en las que permite ser representada una
escala concreta, y, transposición, al proceso en el que se transporta
una misma escala a las distintas alturas para alcanzar las disposiciones
posibles (LÊ, pág. 35-36, nota nº 22), por lo que una escala genérica,
no sintética, cuenta con doce disposiciones potenciales, y desde cada
una de esas alturas específicas se pueden realizar once transposiciones hacia
las restantes posibles. Igualmente sucede con las escalas sintéticas, pero estas,
limitadas a su ámbito restringido.
7. El patrón de secuencia es
el caso particular de una secuencia generadora. De forma que, en este mismo
ejemplo, la secuencia generadora sería una ([1,2] 4), mientras que los patrones
secuenciales posibles contenidos en ella serían dos: ([1-2] 4) y ([2-1] 4).
En este conjunto, el producto entre el número de semitonos contenidos en la
secuencia (en el ejemplo, tres semitonos) y el número de veces que aparece
(cuatro) será siempre (y necesariamente) igual a la constante doce, es
decir, al número total de semitonos que constituyen la octava.
8. Cualquier patrón de secuencia
obtenido por la combinación interna entre los conjuntos de semitono/s que
constituyen la secuencia generadora, dará lugar siempre a diferentes
escalas sintéticas: ([1-3-2] 2) = 132132; ([2 -1-3] 2) = 213213;
([3-1-2] 2) = 312312; ... etc., pertenecientes al mismo modo.
9. A nivel teórico, y para que,
además, no acabe perdiendo por desuso su reconocimiento como escala
sintética, preferimos considerar la escala dodecáfona como el Modo 0,
por ser la única sintética que no permite transposición alguna (LÊ, pág.
410).
10. Recordemos que TL: M
I, se leerá: también clasificado como el Modo I en el tratado del Profesor
Messiaen.
11. Modo clasificado por
Messiaen como Modo III; utiliza sin embargo como punto de partida la
escala 211211 211, de patrón secuencial ([2-1-1] 3). En nuestro caso, y
sin que esto suponga una corrección significativa, nos ha parecido más
conveniente partir siempre de escalas como la 112112112, de patrón secuencial
([1-1-2] 3) como secuencia generadora, por pura coherencia matemática, ya que cuando
tomamos una secuencia, por ejemplo, 123 45 con orden natural, se
constituye en la permutación principal, de modo que sus derivados, como
43152, exponen con claridad sus mutaciones; así, el 4 y 3 forman una inversión
(de seis posibles), el 4 y 5 una sucesión (de cuatro), etc. Una
reflexión semejante será igualmente aplicable a los modos D VI, VII, VIII y IX.
12. TL: M V: 141141,
([1-4- 1] 2).
13. TL: M VI: 22112211,
([2- 2-1-1] 2)
14. TL: M IV: 11311131,
([1- 1-3-1] 2).
15. TL: M VII:
1112111121, ([1-1-1-2-1] 2).
16. Utilizada por Ramón
Barce como Modo IV de su Sistema de Niveles (R. Barce. Fronteras
de la Música, pág. 97-98). En este modo, el nº 106 de la Tabla
general (LÊ, pág. 476), compuso 12 Preludios (con las 6 escalas posibles
y sus 6 transferidas) de los 48 Preludios para piano. Por otra
parte, la coincidencia estructural de sus Modos II y III mantendría a sus respectivos
24 Preludios en el mismo modo, el nº 129 de la Tabla (LÊ, pág
486), quedando los 12 restantes de su Modo I, en el modo nº 139 de ella
(LÊ, pág. 492). Fundamentos Matemáticos de la Escalística Tradicional,
de J. Darias, en J. Ruvira, Javier Darias, Obra de Composición e
Investigación Musical, pág. 31-40.
17. El número en negrilla
indica el dígito por el que comenzamos a contar los semitonos siguiendo, en
sentido dextrógiro, una sucesión que es también circular (:).
18. Se ha comprobado (innecesariamente)
en los dos pares, 2m y 7M, 2M y 7m, 3m y 6M, etc., tan solo para mostrar que
siempre deberán coincidir ambos, es decir que, para operar, será suficiente
calcular directamente solo el intervalo más pequeño (2m, 2M, 3m, etc.) lo que
evitará el tener que simplificar, reduciendo posteriormente a su mitad los
valores alcanzados, tal y como procederemos en los casos siguientes, teniendo
en cuenta que, a pesar de ello, el resultado obtenido para el intervalo de
tritono (4+/5-) de 6 semitonos, siempre deberá dividirse por 2, dada la duplicidad
que necesariamente se provoca, debida a la circunstancia de ser él mismo, su
propio complementario.
19. Para conocer la incidencia
y repercusión que deviene del conocimiento de los indicadores interválicos del
modo, convendría recurrir a LÊ I, pág. 128-129, LÊ II, pág. 30,
nota nº 15b, pág. 31-36, pág. 255- 256 y notas correspondientes.
20. Otros dos ejemplos, con las
escalas
1,1,1,1,2,2,1,3 y 1,1,1, , (LÊ, pág. 408-415). 2,1,1,2,3, en pág.
45 y 46.
TEXTOS CITADOS
Barce, Ramón. Fronteras de la Música. Edita
Real Musical. Madrid, 1985. Darias, Javier:
-Lêpsis, volumen I. Técnicas de Organización y Control en la Creación
Musical. 1ª Edición 2006 / 2a Ed. 2018 (Digital).
-Lêpsis, volumen II. Hacia una Teoría Escalística
Unificada. 1a Edición 2012 / 2ª Ed. 2019 (Digital).
Ediciones Quiroga (EMEC), Madrid.
Messiaen, Olivier.
Técnica de mi Lenguaje Musical, Ediciones Musicales Alphonse Leduc et Cie. Traducción: Daniel Bravo López. París, 1993.
Ruvira, Josep. Javier Darias, Obra de
Composición e Investigación Musical. Colección Contrapunto nº 1. Edita Generalitat
Valènciana. Conselleria de Cultura. València 1990.
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